El teorema espectral para operadores lineales normales en un espacio vectorial complejo de dimensión finita

Abstract

La teoría espectral es muy importante en Matemáticas y Física. El conocimiento del espectro y de los espacios asociados a los valores espectrales de un operador da mucha información sobre él. El objetivo de este trabajo de investigación fue analizar, comprender y demostrar el teorema espectral para operadores lineales en un espacio vectorial con producto interno complejo dimensionalmente finito, el cual expresa las condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados, es decir, representados como una matriz diagonal en alguna base, donde además se desarrolló una elegante representación de un operador normal. Para este propósito se estudió previamente algunos temas de Algebra Lineal como por ejemplo, espacios vectoriales, transformaciones lineales, espacios con producto interior; autovalores, autovectores y diagonalización de matrices. También se analizarán los operadores lineales en espacios con producto interno, centrando la atención en los operadores autoadjuntos en un espacio vectorial real, para luego estudiar el tipo más general de operadores, los normales, en un espacio vectorial complejo. El tipo de investigación que se realizó fue el científico básico, mediante un estudio bibliográfico, además usando el método hipotético deductivo. Se concluye mostrando que un espacio vectorial bajo ciertas condiciones tiene una base ortonormal formada por vectores propios de un operador lineal sobre un espacio con producto interno de dimensión finita.